Rabu, 04 November 2009

gerak melingkar

Besaran gerak melingkar

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah \theta\!, \omega\! dan \alpha\! atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan r\!, v\! dan a\!.

Besaran gerak lurus dan melingkar
Gerak lurus Gerak melingkar
Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)
poisisi r\! m sudut \theta\! rad
kecepatan v\! m/s kecepatan sudut \omega\! rad/s
percepatan a\! m/s2 percepatan sudut \alpha\! rad/s2
- - perioda T\! s
- - radius R\! m

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.

\int \omega\ dt = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \omega = \frac{d\theta}{dt}
\int \alpha\ dt = \omega \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d\omega}{dt}
\int \int \alpha\ dt^2 = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu

\theta = \frac{r_T}{R}\ \ , \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \ , \ \ \alpha = \frac{a_T}{R}

Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\!

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu:

  • gerak melingkar beraturan, dan
  • gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\!

\omega = \frac {v_T} R

Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.

a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R

Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan

v_T = \frac {2\pi R} T \!

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

\theta(t) = \theta_0 + \omega\ t

dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

Gerak melingkar berubah beraturan

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!).

\alpha = \frac {a_T} R

Kinematika GMBB adalah

\omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t + \frac12 \alpha\ t^2 \!
\omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \!

dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula.

Persamaan parametrik

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:

  • titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\!
  • kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB)
  • pusat lingkaran (x_c,y_c)\!

untuk kemudian dibuat persamaannya [2].

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui:

R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \!

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu

x(t) = x_c + R cos(\omega t + \phi_x) \!
y(t) = y_c + R sin(\omega t + \phi_y) \!

dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!:

\phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\!
\phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\!

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

\phi_x = \phi_y \!

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

v_T = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

dengan

v_x = \dot{x} = \frac{dx}{dt}
v_y = \dot{y} = \frac{dy}{dt}

diperoleh

v_x = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \!
v_y = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

v_T = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T = \omega R\!

Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui

a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka

a_T = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}

dengan

a_x = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}
a_y = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}

diperoleh

a_x = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \!
a_y = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \!

sehingga

a_T = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T = \omega^2 R\!

Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa

\omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \!

dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.

Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:

x(t) = x_c + R \cos \theta \!
y(t) = y_c + R \sin \theta \!

di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh

v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} = - \omega(t) R \sin \theta \!
v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \!

dengan

\frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!

Dapat dibuktikan bahwa

v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \!

sama dengan kasus pada GMB.

Percepatan total

Diferensiasi lebih lanjut terhadap waktu pada kecepatan linier memberikan

a_x(t) = - R \cos \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 - R \sin \theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!
a_x(t) = - R \sin \theta \ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + R \cos\theta \frac{d^2\theta}{dt^2} \!

yang dapat disederhanakan menjadi

a_x(t) = - \omega^2 R \cos \theta - \alpha R \sin \theta \!
a_x(t) = - \omega^2 R \sin \theta + \alpha R \cos \theta \!

Selanjutnya

a^2(t) = a_x^2(t) + a_y^2(t) = R^2\left(\omega^4(t) + \alpha^2 \right) \!

yang umumnya dituliskan [3]

a^2(t) = a_R^2(t) + a_T^2(t) \!

dengan

a_T = \alpha R \!

yang merupakan percepatan sudut, dan

a_R = \omega^2 R = a_S \!

yang merupakan percepatan sentripetal. Suku sentripetal ini muncul karena benda harus dibelokkan atau kecepatannya harus diubah sehingga bergerak mengikuti lintasan lingkaran.

Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

Gerak berubah beraturan
Kecepatan GLBB GMB
Besar berubah tetap
Arah tetap berubah
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)